Elektromagnetyzm — karta wzorów na żywo

Cała karta egzaminacyjna zamieniona w animacje. Każdy blok ma interaktywny rysunek i suwaki — pokręć nimi i zobacz, jak wzór „ożywa". Wzory renderują się przez MathJax (potrzebny internet), ale wszystkie animacje działają lokalnie.

Cześć Bartek 👋 — zrobiłem to w nocy, kiedy spałeś. Przejdź to rano na świeżo: dotykaj suwaków, patrz na ruch pola, łap intuicję. To NIE zastępuje liczenia, ale sprawia, że wzory przestają być martwe. Powodzenia na egzaminie — dasz radę. 💪

wskazówka Klikaj sekcje po lewej. Suwaki są pod każdą animacją.

∇

1 · Operatory: gradient, dywergencja, rotacja

Trzy sposoby, na jakie działa $\nabla$. To „alfabet" całej karty — równania Maxwella to zdania z tych liter.

Gradient (skalar → wektor)$\vec E=-\nabla V$ — wektor „pod górę", prostopadły do poziomic.
Dywergencja (wektor → skalar)$\nabla\cdot\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$, $\quad\nabla\cdot\vec B=0$ — źródła pola.
Rotacja (wektor → wektor)$\nabla\times\vec E=-\dfrac{\partial\vec B}{\partial t}$ — wirowość pola.

Gradient celuje tam, gdzie funkcja rośnie najszybciej. Dywergencja mierzy, ile pola „wypływa" z punktu (źródło/ujście). Rotacja mierzy, jak pole „zakręca".

Gradient: strzałki „pod górę", prostopadłe do poziomic.
🔴

2 · Pole elektryczne i dipol

Ładunek tworzy pole, pole działa siłą na inny ładunek. Linie zaczynają się na +, kończą na −.

Pole ładunku punktowego$\vec E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\hat r,\qquad \vec F=q\vec E$
Dipol — moment$\vec p=q\vec d$, na osi $\vec E=\dfrac{\vec p}{2\pi\varepsilon_0 r^3}$, na symetralnej $\vec E=-\dfrac{\vec p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$

Przełącz na dipol i zobacz klasyczny wzór linii pola. Pole dipola maleje jak $1/r^3$ — szybciej niż pojedynczy ładunek. Suwak zmienia znak/rozsunięcie.

Superpozycja $\vec E$ jest wektorowa — składowe dodajesz osobno.
Rozsunięcie d / siła 1.0
linie pola (płyną z + do −)
🟢

3 · Prawo Gaussa

Strumień przez zamkniętą powierzchnię zależy tylko od ładunku w środku — nie od kształtu.

Prawo Gaussa$\displaystyle\oint_S \vec E\cdot d\vec S=\frac{q_{wew}}{\varepsilon_0}$

Przesuwaj ładunek suwakiem. Gdy jest wewnątrz powierzchni — wszystkie linie ją przebijają, strumień $=q/\varepsilon_0$. Gdy na zewnątrz — ile linii wchodzi, tyle wychodzi, strumień netto $=0$. To dlatego Gauss jest tak potężny: liczy się tylko zawartość.

Przy symetrii $E$ jest stałe na powierzchni i „wychodzi przed całkę": $E\cdot S=q_{wew}/\varepsilon_0$.
Położenie ładunku środek
Ładunek q +2
Φ = q/ε₀  (ładunek w środku)
⛰️

4 · Potencjał

Pole „schodzi z górki" potencjału, prostopadle do powierzchni stałego $V$.

Potencjał i pole$V=-\displaystyle\int\vec E\cdot d\vec l,\qquad \vec E=-\nabla V$
Superpozycja — SKALARNA$V=\displaystyle\sum_i\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}$

Niebieskie pierścienie to ekwipotencjały ($V=$const), zielone linie to pole. Zawsze się przecinają pod kątem prostym. Potencjał to skalar — dodaje się prościej niż wektory.

linie pola ekwipotencjały V=const
⊣⊢

5 · Kondensatory i ładowanie RC

Pojemność to $Q/\Delta V$. Podłączony do opornika ładuje się wykładniczo ze stałą $\tau=RC$.

Pojemność$C=\dfrac{Q}{\Delta V}$, płaski $C=\varepsilon_0\dfrac{S}{d}$
Ładowanie / rozładowanie$q=q_0(1-e^{-t/RC}),\qquad q=q_0e^{-t/RC}$

Po czasie $\tau=RC$ kondensator osiąga ok. 63% ładunku. Pokręć $R$ i $C$ — krzywa rozciąga się/ściąga. Płytki wypełniają się ładunkiem w tempie krzywej.

R 1.0
C 1.0
τ = RC = 1.0
▦

6 · Dielektryki

Izolator w polu polaryzuje się — ładunki związane osłabiają pole, podnoszą pojemność.

Osłabienie pola, wzrost C$\vec E=\dfrac{\vec E_0}{\varepsilon_r},\qquad C=\varepsilon_r C_0$
Polaryzacja$\vec P=\varepsilon_0\chi_e\vec E,\quad \chi_e=\varepsilon_r-1,\quad \vec D=\varepsilon_r\varepsilon_0\vec E$

Suwak $\varepsilon_r$ zwiększa polaryzację: na powierzchniach dielektryka rośnie ładunek związany (− przy +, + przy −), który częściowo znosi pole. Strzałki pola robią się krótsze.

Przenikalność εᵣ 1.0
pole netto E = E₀ / εᵣ
🔌

7 · Prąd, opór, prawo Ohma

Pole popycha nośniki; zderzenia ustalają stałą prędkość dryfu → prawo Ohma.

Prawo Ohma (mikro/makro)$\vec j=\sigma\vec E,\qquad U=IR,\qquad R=\dfrac{L}{\sigma S}$
Prędkość dryfu, moc$\vec v_d=\mu\vec E,\qquad P=UI=I^2R$

Elektrony lecą chaotycznie, ale pole nadaje im powolny dryf. Suwak „napięcie" zwiększa pole → szybszy dryf → większy prąd. Zderzenia (kropki) to opór.

Napięcie U (pole E) 1.0
prąd I ∝ U  →  1.0
🧲

8 · Magnetyzm: przewód i pętla

Prąd tworzy wirowe pole $\vec B$. Symetria → Ampère; kawałki/pętle → Biot-Savart.

Nieskończony przewód (Ampère)$\displaystyle\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
Środek pętli / półokręgu$B=\dfrac{\mu_0 I}{2R}\ \ (\text{pełna}),\quad \dfrac{\mu_0 I}{4R}\ \ (\text{półokrąg})$

Pole owija się wokół przewodu (reguła prawej dłoni). Suwak zmienia prąd $I$ — gęstsze i szybsze pierścienie. Zmień kierunek prądu i zobacz, że $\vec B$ obraca się w drugą stronę.

Prąd I 1.0
linie pola B (zamknięte okręgi)
🌀

9 · Siła Lorentza

W polu $\vec B$ ładunek zakręca po okręgu o promieniu $r=mv/qB$.

Siła Lorentza$\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$
Promień orbity$r=\dfrac{mv}{qB}$

Pole $\vec B$ wchodzi w ekran (⊗). Siła jest zawsze prostopadła do prędkości — nie zmienia szybkości, tylko zakręca. Większe $B$ → ciaśniejszy okrąg. Zmień znak ładunku → obrót w drugą stronę.

Prędkość v 1.0
Pole B 1.0
r = mv/qB ∝ 1.0
📉

10 · Indukcja Faradaya

Zmienny strumień $\vec B$ przez pętlę indukuje SEM. Im szybciej, tym więcej.

Prawo Faradaya$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_B}{dt},\qquad \Phi_B=\displaystyle\int\vec B\cdot d\vec S$
Cewka$\varepsilon=-L\dfrac{dI}{dt},\qquad E_L=\dfrac{LI^2}{2}$

Magnes porusza się w pętli. Strzałka prądu i wskazówka „galwanometru" reagują na prędkość zmiany strumienia (znak Lenza: prąd przeciwdziała zmianie). Stoi → brak prądu.

Prędkość magnesu 1.0
ε ∝ −dΦ/dt  →  0.0
〜

11 · RLC i prąd przemienny

Metoda zespolona: $Z_R=R$, $Z_L=i\omega L$, $Z_C=\frac{1}{i\omega C}$. Fazory pokazują przesunięcie faz.

Impedancja$Z=R+i\Big(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\Big),\quad \tan\varphi=\dfrac{\omega L-1/\omega C}{R}$
Rezonans$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ — wtedy $X=0$, prąd maksymalny.

Lewy: fazory napięcia (żółty) i prądu (cyjan) obracają się; kąt między nimi to faza $\varphi$. Prawy: krzywa prądu od częstości — szczyt w rezonansie. Pokręć $\omega$, $L$, $C$.

Częstość ω 1.0
L 1.0
C 1.0
φ = 0° (oporowy)
🌊

12 · Równania Maxwella + fala EM

Cztery równania → fala, w której $\vec E$ i $\vec B$ podtrzymują się nawzajem, lecąc z prędkością $c$.

Cztery równania $\nabla\!\cdot\!\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0},\ \ \nabla\!\cdot\!\vec B=0$
$\nabla\!\times\!\vec E=-\partial_t\vec B,\ \ \nabla\!\times\!\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec E$
Prędkość światła$\mu_0\varepsilon_0=\dfrac{1}{c^2},\qquad \vec S=\vec E\times\vec H$

$\vec E$ (czerwone) i $\vec B$ (niebieskie) są prostopadłe do siebie i do kierunku ruchu. Zmienne $\vec E$ tworzy $\vec B$, zmienne $\vec B$ tworzy $\vec E$ — i tak fala sama się napędza. Suwak: częstotliwość.

Częstotliwość 1.0
pole E pole B kierunek ruchu (E×B)
📋

13 · Pełna ściąga — drzewo decyzyjne

Szybkie „co liczyć czym" — na samą salę.

Pole E przy ładunku?

symetria (walec/kula/płaszczyzna) → Gauss
brak symetrii → całka $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r^2}\hat r$

Potencjał?

masz E → $V=-\int\vec E\,d\vec l$ (uwaga na punkt odniesienia)
ładunki punktowe → $V=\sum\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}$ (skalarnie)

Pojemność?

załóż Q → Gauss → $\Delta V$ → $C=Q/\Delta V$

Pole B?

symetria → Ampère $\oint\vec B\,d\vec l=\mu_0 I$
pętla/łuk → Biot-Savart; odcinek radialny → 0

Obwód AC ($\varepsilon_0\cos\omega t$)?

impedancje zespolone, $\tilde I=\tilde\varepsilon/Z$, na końcu część rzeczywista
$\frac{1}{i}=-i$

Zmienny strumień?

$\varepsilon=-d\Phi_B/dt$ (znak Lenza: przeciwdziała zmianie)