Odpowiedź przy tablicy — 22 zagadnienia na żywo

Wszystkie zagadnienia z Części A i B zamienione w animacje. Każde ma wzór, znaczenie fizyczne (to, za co klucz daje punkty) i interaktywny rysunek. Pokręć suwakami i zobacz, jak prawo „ożywa".

Cześć Bartek 👋 — to towarzysz do odpowiedzi ustnej. Pełne, gotowe scenariusze do każdego punktu masz w plikach tutoring/07_odpowiedzi_tablica/ODPOWIEDZI_czesc_A.md i ..._czesc_B.md. Tu łapiesz intuicję i obrazek, który możesz narysować na tablicy.

jak grać Mów zawsze: wzór → znaczenie fizyczne → wniosek. Rysuj. Wzory renderują się przez internet (MathJax); animacje działają lokalnie.

CZĘŚĆ A — elektrostatyka i prąd

⚡

A1 · Maszyna elektrostatyczna, Van de Graaff

Mechaniczne przenoszenie ładunku → bardzo wysokie napięcie. Bo ładunek ucieka na zewnętrzną powierzchnię.

Potencjał kopuły / przebicie$V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R},\qquad E_{przeb}\approx 3\cdot10^{6}\,\tfrac{\text{V}}{\text{m}}$

Co znaczą literki

$V$ — potencjał (napięcie) kopuły [V]
$Q$ — ładunek zgromadzony na kopule [C]
$R$ — promień kopuły [m]
$\varepsilon_0$ — przenikalność próżni, $8{,}85\cdot10^{-12}$ F/m
$E_{przeb}$ — pole przebicia powietrza (~$3\cdot10^6$ V/m)

Taśma wnosi ładunek do wnętrza kopuły. Bo $\vec E=0$ w przewodniku, ładunek natychmiast przechodzi na powierzchnię zewnętrzną → wnętrze znów puste → można dokładać dalej.

Pointa: przenoszenie się nie nasyca, bo ładunek zawsze ucieka na zewnątrz. Stąd napięcia rzędu MV.

Prędkość taśmy 1.2

Q rośnie → V rośnie → iskra

ładunek na zewn. powierzchniładunek na taśmie

🔴

A2 · Prawo Coulomba i prawo Gaussa

Coulomb = prawo bazowe; Gauss = jego przepakowanie pod symetrię. Źródłem $\vec E$ są ładunki.

Coulomb / Gauss$\vec F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r^2}\hat r,\qquad \oint\vec E\cdot d\vec S=\dfrac{Q_{wew}}{\varepsilon_0}$

Co znaczą literki

$\vec F$ — siła między ładunkami [N]
$q_1,q_2$ — wartości ładunków, ze znakiem [C]
$r$ — odległość między nimi [m]
$\hat r$ — wektor jednostkowy kierunku
$\vec E$ — pole elektryczne [V/m]
$d\vec S$ — element powierzchni, prostopadły [m²]
$\oint_S$ — całka po zamkniętej powierzchni
$Q_{wew}$ — ładunek zamknięty w środku [C]
$\varepsilon_0$ — przenikalność próżni

Linie pola wychodzą z „+", wchodzą do „−". Przerywany okrąg to powierzchnia Gaussa: strumień zależy tylko od ładunku w środku, nie od kształtu powierzchni.

Przy symetrii $E$ jest stałe na powierzchni i wychodzi przed całkę: $E\cdot S=Q_{wew}/\varepsilon_0$.

Wartość |q| 2

linie polapowierzchnia Gaussa

⚡

A3 · Przewodniki w równowadze, efekt ostrza

$\vec E=0$ w środku, $V=$const, ładunek na powierzchni, $\vec E\perp$ powierzchni. Na ostrzu — gęsto.

Warunki + efekt ostrza$\vec E_{wewn}=0,\quad E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0},\quad \sigma\propto\dfrac{1}{R_{krzyw}}$

Co znaczą literki

$\vec E_{wewn}$ — pole wewnątrz przewodnika [V/m]
$V$ — potencjał (stały) [V]
$\sigma$ — gęstość powierzchniowa ładunku [C/m²] (tu: ładunek, nie przewodnictwo!)
$\varepsilon_0$ — przenikalność próżni
$R_{krzyw}$ — promień krzywizny powierzchni [m]

Skoro $V=$const, gęstość $\sigma$ jest największa przy małym promieniu krzywizny (ostrza). Mały $R$ → duże $\sigma$ → ogromne lokalne $E$ → jonizacja powietrza (wiatr elektryczny, piorunochron).

Klucz: wiatr to ruch zjonizowanych cząsteczek powietrza, nie elektronów.

gęściej i silniej na ostrzu →

ładunek powierzchniowypole E (⊥, dłuższe = silniejsze)

⛰️

A4 · Praca, energia potencjalna, potencjał

Pole zachowawcze → istnieje potencjał. Pole „schodzi z górki" $V$, prostopadle do ekwipotencjałów.

Zachowawczość, potencjał$\oint\vec E\cdot d\vec l=0,\quad V=-\!\int\vec E\cdot d\vec l,\quad \vec E=-\nabla V$

Superpozycja — SKALARNA$V=\displaystyle\sum_i\dfrac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}$

Co znaczą literki

$W$ — praca przeniesienia ładunku [J]
$q$ — przenoszony ładunek [C]
$\vec E$ — pole elektryczne [V/m]
$d\vec l$ — element drogi [m]
$E_p$ — energia potencjalna [J]
$r$ — odległość ładunków [m]
$V$ — potencjał = energia na ładunek [V=J/C]
$\nabla V$ — gradient potencjału (kierunek wzrostu $V$)
$\varepsilon_0$ — przenikalność próżni

Niebieskie okręgi to ekwipotencjały ($V$=const), zielone linie to pole. Zawsze ⊥. Potencjał to skalar — dodaje się prościej niż wektory.

linie polaekwipotencjały V=const

⊣⊢

A5 · Pojemność, energia, dielektryk

$C=Q/\Delta V$ zależy tylko od geometrii i $\varepsilon_r$. Dielektryk osłabia pole, podnosi $C$.

Pojemność i energia$C=\dfrac{Q}{\Delta V}=\varepsilon_r\varepsilon_0\dfrac{S}{d},\qquad W=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{CU^2}{2}$

Co znaczą literki

$C$ — pojemność [F]
$Q$ — ładunek na okładce [C]
$\Delta V$ — napięcie między okładkami [V]
$S$ — pole powierzchni okładki [m²]
$d$ — odległość okładek [m]
$\varepsilon_0$ — przenikalność próżni; $\varepsilon_r$ — wzgl. przenikalność dielektryka (bez jedn.)
$W$ — energia kondensatora [J]; $u$ — gęstość energii pola [J/m³]
$E$ — pole między okładkami [V/m]

Suwak $\varepsilon_r$ zwiększa polaryzację: na powierzchniach dielektryka rośnie ładunek związany (− przy „+"), który osłabia pole. Strzałki pola robią się krótsze: $E=E_0/\varepsilon_r$.

Zawsze powiedz, co stałe: izolowany ($Q$=const) → $W\downarrow$; podłączony ($U$=const) → $Q\uparrow$.

Przenikalność εᵣ 1.0

pole netto E = E₀/εᵣ, C = εᵣ·C₀

▦

A6 · Dielektryki w ośrodku, warunki brzegowe

$\vec D$ widzi tylko ładunki swobodne. Na granicy: styczna $E$ ciągła, normalna $D$ skacze o $\sigma_{sw}$.

Wektory i Gauss w ośrodku$\vec D=\varepsilon_r\varepsilon_0\vec E,\qquad \oint\vec D\cdot d\vec S=Q_{sw}$

Warunki brzegowe$E_{1t}=E_{2t},\qquad D_{2n}-D_{1n}=\sigma_{sw}$

Co znaczą literki

$\vec E$ — pole elektryczne [V/m]
$\vec P$ — polaryzacja (gęstość dipoli) [C/m²]
$\vec D$ — indukcja elektryczna [C/m²]
$\chi_e$ — podatność elektryczna (bez jedn.)
$\varepsilon_r$ — wzgl. przenikalność dielektryka
$Q_{sw}$, $\sigma_{sw}$ — ładunek swobodny i jego gęstość pow. [C], [C/m²]
$E_t$, $D_n$ — składowa styczna $E$, normalna $D$

Linia pola załamuje się na granicy dwóch ośrodków (jak światło). Składowa styczna $E$ jest ciągła, więc kąt zmienia się wg $\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}$.

Stosunek ε₂/ε₁ 3.0

linia polagórny ośrodek ε₁ · dolny ε₂

🔌

A7 · Przewodnictwo, obraz mikroskopowy

Prąd to dryf na tle chaosu. $v_d$ stała, bo zderzenia odbierają pęd nadawany przez pole.

Mikroskopowe prawo Ohma$\vec j=nq\vec v_d=\sigma\vec E,\qquad \sigma=nq\mu=\dfrac{nq^2\tau}{m}$

Co znaczą literki

$\vec j$ — gęstość prądu [A/m²]
$n$ — koncentracja nośników [1/m³]
$q$ — ładunek nośnika [C]
$\vec v_d$ — prędkość dryfu [m/s]
$\sigma$ — przewodnictwo właściwe [S/m] (tu: nie ładunek!)
$\vec E$ — pole elektryczne [V/m]
$\mu$ — ruchliwość nośników [m²/(V·s)]
$\tau$ — średni czas między zderzeniami [s]
$m$ — masa nośnika [kg]

Elektron leci zygzakiem (zderzenia), a pole nakłada powolny dryf w prawo. Suwak „napięcie" zwiększa pole → szybszy dryf → większy prąd. Zderzenia = opór.

Klucz: $v_d$ stała, bo rozpędzanie polem równoważy strata pędu w zderzeniach.

Napięcie U (pole E) 1.0

prąd I ∝ U → 1.0

🔗

A8 · Prawo Ohma, prawa Kirchhoffa

Kirchhoff to zachowanie ładunku (węzły) i energii (oczka). Równanie ciągłości — lokalnie.

Kirchhoff I i II$\sum I_{węzeł}=0,\qquad \sum\varepsilon-\sum IR=0$

Równanie ciągłości$\nabla\cdot\vec j=-\dfrac{\partial\rho}{\partial t}$

Co znaczą literki

$\sum I$ — suma prądów w węźle (wpływ − wypływ)
$\varepsilon$ — SEM źródła [V]
$I$ — prąd [A]; $R$ — opór [Ω]
$\vec j$ — gęstość prądu [A/m²]
$\rho$ — gęstość ładunku [C/m³]
$\nabla\cdot\vec j$ — dywergencja prądu (wypływ z punktu)

W węźle ile prądu wpływa, tyle wypływa: $I_1=I_2+I_3$ — ładunek się nie gromadzi (zachowanie ładunku). Pokręć podziałem prądu i zobacz, że suma na wyjściu = wejście.

Przyrządy: amperomierz szeregowo (mały R), woltomierz równolegle (duży R).

Podział I₂ : I₃ 50%

I₁ = I₂ + I₃

📉

A9 · Obwody RC (efekty włączeniowe)

Kondensator ładuje się wykładniczo ze stałą $\tau=RC$. Początek: jak zwarcie. Koniec: jak przerwa.

Ładowanie / rozładowanie$q=q_0(1-e^{-t/RC}),\qquad q=q_0e^{-t/RC}$

Co znaczą literki

$q$ — chwilowy ładunek kondensatora [C]; $q_0$ — początkowy
$t$ — czas [s]; $e$ — liczba Eulera ($\approx2{,}72$)
$R$ — opór [Ω]; $C$ — pojemność [F]
$\tau=RC$ — stała czasowa [s]

Po czasie $\tau=RC$ ładunek osiąga ~63% (ładowanie) albo spada do 37% (rozładowanie). Pokręć $R$ i $C$ — krzywa się rozciąga. Kondensator wypełnia się w tempie krzywej.

R 1.0

C 1.0

τ = RC = 1.0

🌡️

A10 · Temperatura, ciepło Joule'a, termoelektryka

Metal: $\rho$ rośnie z $T$ (drgania sieci). Półprzewodnik: $\rho$ maleje (przybywa nośników).

Opór(T), ciepło Joule'a$\rho_{met}=\rho_0(1+\alpha\Delta T),\qquad P=I^2R$

Co znaczą literki

$\rho$ — opór właściwy [Ω·m]; $\rho_0$ — w temp. odniesienia
$\alpha$ — temperaturowy współczynnik oporu [1/K]
$\Delta T$ — zmiana temperatury [K]
$P$ — moc / ciepło Joule'a [W]; $I$ — prąd [A]; $R$ — opór [Ω]

Przesuń suwak temperatury. Metal (niebieski): więcej drgań sieci → krótszy $\tau$ → $\rho\uparrow$. Półprzewodnik (różowy): więcej elektronów przez przerwę → $\rho\downarrow$ (wykładniczo).

Termoelektryka: Seebeck (ΔT→SEM, termopara), Peltier (prąd→chłodzenie).

Temperatura T 1.0

metal ρ↑półprzewodnik ρ↓

CZĘŚĆ B — magnetyzm i fale

🧲

B1 · Prawo Biota-Savarta, prawo Ampère'a

Prąd jest źródłem $\vec B$; pole owija się wokół. Symetria → Ampère, kawałki → Biot-Savart.

Biot-Savart / Ampère$d\vec B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2},\qquad \oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{obj}$

Gotowce$B_{przewód}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r},\quad B_{środek pętli}=\dfrac{\mu_0 I}{2R}$

Co znaczą literki

$d\vec B$ — przyczynek pola od kawałka przewodu [T]
$I$ — prąd [A]
$d\vec l$ — element przewodu (kierunek = prąd) [m]
$\hat r$ — wektor jednostkowy do punktu; $r$ — odległość [m]
$\mu_0$ — przenikalność magn. próżni, $4\pi\cdot10^{-7}$ T·m/A
$I_{obj}$ — prąd objęty pętlą [A]; $R$ — promień pętli [m]

Pole owija się wokół przewodu (reguła prawej dłoni). Suwak zmienia prąd $I$ — szybsze i gęstsze pierścienie. Zmień kierunek — $\vec B$ obraca się w drugą stronę.

Prąd I 1.0

linie pola B (zamknięte okręgi)

🌀

B2 · Siła Lorentza, efekt Halla

Siła magnetyczna ⊥ do $v$ (nie pracuje). W płytce spycha nośniki na bok → napięcie Halla.

Lorentz / Hall$\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B),\qquad U_H=\dfrac{IB}{nqd}$

Co znaczą literki

$\vec F$ — siła [N]; $q$ — ładunek [C]
$\vec E$ — pole elektr. [V/m]; $\vec B$ — pole magn. [T]
$\vec v$ — prędkość [m/s]; $v_d$ — prędkość dryfu
$U_H$ — napięcie Halla [V]; $E_H$ — pole Halla [V/m]
$I$ — prąd [A]; $n$ — koncentracja nośników [1/m³]; $d$ — grubość płytki [m]

$\vec B$ wchodzi w ekran (⊗). Nośniki prądu są spychane w bok i gromadzą się na krawędzi, aż poprzeczne pole $E_H$ zrównoważy siłę magnetyczną. Suwak zmienia $B$ → silniejsze spychanie.

Po co: Hall zdradza znak i koncentrację nośników; pomiar pola $B$.

Pole B (⊗) 1.0

U_H ∝ B

nośniki prądu →pole Halla E_H

⚛️

B3 · Cyklotron, selektor, spektrometr

Wszystko z $r=mv/qB$. Cyklotron: $\omega_c=qB/m$ niezależne od prędkości!

Częstość cyklotronowa / promień$\omega_c=\dfrac{qB}{m}\ (\text{niezależna od }v),\qquad r=\dfrac{mv}{qB}$

Co znaczą literki

$\omega_c$ — częstość cyklotronowa [rad/s]
$q$ — ładunek [C]; $m$ — masa cząstki [kg]
$B$ — pole magn. [T]; $E$ — pole elektr. [V/m]
$v$ — prędkość [m/s]; $r$ — promień toru [m]

Cząstka krąży w polu $\vec B$, a napięcie między duantami rozpędza ją przy każdym przejściu → tor spiralny, energia rośnie. Bo $\omega_c$ nie zależy od $v$, rytm rozpędzania pasuje cały czas.

Selektor prędkości: $v=E/B$ przepuszcza tylko jedną prędkość. Spektrometr: $r\propto m$.

Pole B 1.0

większe B → ciaśniejsza spirala

dwie duanty + spirala przyspieszanej cząstki

📉

B4 · Prawo Faradaya, reguła Lenza

Zmienny strumień $\vec B$ indukuje SEM. Lenz: prąd przeciwdziała zmianie (zachowanie energii).

Faraday / Lenz$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_B}{dt},\qquad \nabla\times\vec E=-\dfrac{\partial\vec B}{\partial t}$

Co znaczą literki

$\varepsilon$ — SEM indukowana [V]
$\Phi_B$ — strumień magnetyczny [Wb]
$d\Phi_B/dt$ — szybkość zmiany strumienia
znak „−" — reguła Lenza (przeciwdziała zmianie)
$\vec B$ — pole magn. [T]; $\nabla\times\vec E$ — rotacja (wirowość $E$)

Magnes porusza się w pętli. Strzałka prądu i wskazówka „galwanometru" reagują na prędkość zmiany strumienia. Stoi → brak prądu. Znaczenie: zmienne $\vec B$ tworzy wirowe $\vec E$.

3 źródła SEM: zmiana $B$, zmiana $S$ ($\varepsilon=BLv$), zmiana kąta (prądnica).

Prędkość magnesu 1.2

ε ∝ −dΦ/dt → 0.0

🔁

B5 · Indukcja wzajemna, transformator

Cewka ma „bezwładność": $\varepsilon=-L\,dI/dt$. Transformator zmienia napięcie AC zachowując moc.

Samoindukcja, energia, transformator$\varepsilon=-L\dfrac{dI}{dt},\quad E_L=\tfrac12 LI^2,\quad \dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{N_2}{N_1}$

Co znaczą literki

$L$ — indukcyjność własna [H]
$dI/dt$ — szybkość zmiany prądu [A/s]
$\Phi$ — strumień [Wb]; $M$ — indukcyjność wzajemna [H]
$E_L$ — energia cewki [J]; $u=B^2/2\mu_0$ — gęstość energii [J/m³]
$N_1,N_2$ — liczby zwojów; $U_1,U_2$ — napięcia [V]

Zmienny prąd w uzwojeniu pierwotnym → zmienny strumień w rdzeniu → SEM we wtórnym. Suwak zmienia stosunek zwojów $N_2/N_1$ → amplituda napięcia wyjściowego rośnie/maleje.

Działa tylko na AC — potrzebny zmienny strumień. Stąd sieć energetyczna jest zmienna.

Stosunek N₂/N₁ 2.0

U₂ = (N₂/N₁)·U₁

napięcie pierwotnenapięcie wtórne

📈

B6 · Obwody RL (efekty włączeniowe)

Cewka opóźnia narastanie prądu (samoindukcja). Stała $\tau=L/R$. Analog RC, ale dla prądu.

Narastanie prądu$I(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}\big(1-e^{-t/\tau}\big),\qquad \tau=\dfrac{L}{R}$

Co znaczą literki

$\varepsilon$ — SEM źródła [V]; $I$ — prąd [A]; $I_0$ — początkowy
$R$ — opór [Ω]; $L$ — indukcyjność [H]
$t$ — czas [s]; $e$ — liczba Eulera
$\tau=L/R$ — stała czasowa [s]

Na początku cewka jak przerwa ($I=0$), na końcu jak zwarcie (pełny prąd $\varepsilon/R$). Pokręć $L$ i $R$: większe $L$ → wolniej. Po $\tau$ prąd osiąga ~63% wartości końcowej.

L 1.0

R 1.0

τ = L/R = 1.0

〜

B7 · Rezonansowy RLC, moc czynna i bierna

W rezonansie $X_L=X_C$ → obwód czysto oporowy, prąd maksymalny. Moc bierna krąży między L i C.

Impedancja, rezonans$Z=R+i\Big(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\Big),\qquad \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

Moc$P=U_{sk}I_{sk}\cos\varphi\ (\text{czynna}),\qquad Q=U_{sk}I_{sk}\sin\varphi\ (\text{bierna})$

Co znaczą literki

$Z$ — impedancja (zespolony opór) [Ω]; $R$ — opór [Ω]; $i$ — jedn. urojona
$\omega$ — pulsacja [rad/s]; $\omega_0$ — pulsacja rezonansowa
$\omega L$, $1/\omega C$ — reaktancje $X_L$, $X_C$ [Ω]
$L$ — indukcyjność [H]; $C$ — pojemność [F]
$\varphi$ — przesunięcie fazowe; $\cos\varphi$ — współczynnik mocy
$U_{sk},I_{sk}$ — wartości skuteczne [V],[A]; $P$ — moc czynna [W]; $Q$ — bierna [var]

Krzywa pokazuje prąd $I(\omega)$ — ostry pik w rezonansie $\omega_0$. Pokręć $L$, $C$: pik się przesuwa. W rezonansie $\varphi=0$ — cała moc czynna.

Częstość ω 1.0

L 1.0

C 1.0

φ = 0° (oporowy)

🧭

B8 · Dia-, para-, ferromagnetyki, nadprzewodniki

Różnią się reakcją momentów na pole. Dia: indukuje przeciwny. Para: porządkuje. Ferro: samo się porządkuje.

Magnetyzacja$\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M),\quad \vec M=\chi_m\vec H,\quad \mu_r=1+\chi_m$

Co znaczą literki

$\vec B$ — pole magn. (indukcja) [T]; $\vec H$ — natężenie pola [A/m]
$\vec M$ — magnetyzacja (gęstość momentów) [A/m]
$\chi_m$ — podatność magnetyczna (bez jedn.; znak = typ materiału)
$\mu_r=1+\chi_m$ — wzgl. przenikalność magnetyczna
$\mu_0$ — przenikalność magn. próżni

Przełącz typ i włącz pole (suwak). Para: momenty częściowo ustawiają się z polem (chaos termiczny przeszkadza). Ferro: ustawiają się silnie i zgodnie (domeny). Dia: indukują się przeciwnie do pola.

Nadprzewodnik: efekt Meissnera — całkowicie wypycha $\vec B$ ($\chi=-1$).

Pole zewn. H 1.0

🔀

B9 · Magnetostatyka w ośrodku, warunki brzegowe

$\vec H$ widzi tylko prądy swobodne (analog $\vec D$). Na granicy: normalna $B$ ciągła, styczna $H$ ciągła.

Pola i prawa$\vec B=\mu\vec H,\qquad \oint\vec H\cdot d\vec l=I_{sw},\qquad \oint\vec B\cdot d\vec S=0$

Warunki brzegowe$B_{1n}=B_{2n},\qquad H_{1t}=H_{2t}\ (\text{bez }K_{sw})$

Co znaczą literki

$\vec B$ — pole magn. [T]; $\vec H$ — natężenie pola [A/m]
$\mu=\mu_0\mu_r$ — przenikalność ośrodka
$I_{sw}$ — prąd swobodny objęty pętlą [A]
$B_{1n},B_{2n}$ — składowe normalne $B$ po obu stronach
$H_{1t},H_{2t}$ — składowe styczne $H$; $K_{sw}$ — prąd powierzchniowy [A/m]

Linia $\vec B$ załamuje się na granicy ośrodków magnetycznych. Składowa normalna $B$ jest ciągła (bo $\nabla\cdot\vec B=0$), styczna $H$ ciągła → stąd zmiana kąta.

Stosunek μ₂/μ₁ 3.0

linia pola Bgórny ośrodek μ₁ · dolny μ₂

⊞

B10 · Uogólnione prawo Ampère'a

Maxwell dodał prąd przesunięcia: zmienne $\vec E$ wytwarza $\vec B$. Inaczej Ampère jest sprzeczny.

Uogólnione Ampère$\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$

Co znaczą literki

$\oint\vec B\cdot d\vec l$ — cyrkulacja $B$ po pętli
$I$ — prąd przewodzenia objęty pętlą [A]
$\Phi_E$ — strumień pola elektrycznego [V·m]
$I_d=\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ — prąd przesunięcia [A] (zmienne $E$, nie ruch ładunku)
$\mu_0$, $\varepsilon_0$ — stałe próżni

Przy ładowaniu kondensatora między okładkami prąd nie płynie, ale rośnie pole $\vec E$. To zmienne $\vec E$ działa jak prąd przesunięcia $I_d=\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ i wytwarza $\vec B$.

Znaczenie: zmienne pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne — symetria do Faradaya.

Prąd ładowania I 1.0

prąd w drucierosnące E (prąd przesunięcia)pole B

🌐

B11 · Równania Maxwella

Dwa o źródłach ($\nabla\cdot$), dwa o sprzężeniu ($\nabla\times$). Razem: pełna elektrodynamika.

Cztery równania $\nabla\!\cdot\!\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0},\ \ \nabla\!\cdot\!\vec B=0$
$\nabla\!\times\!\vec E=-\partial_t\vec B,\ \ \nabla\!\times\!\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec E$

Co znaczą literki

$\vec E$ — pole elektr. [V/m]; $\vec B$ — pole magn. [T]
$\nabla\cdot$ — dywergencja (źródła pola); $\nabla\times$ — rotacja (wirowość)
$\rho$ — gęstość ładunku [C/m³]; $\vec j$ — gęstość prądu [A/m²]
$\partial_t$ — pochodna po czasie (jak szybko pole się zmienia)
$\mu_0$, $\varepsilon_0$ — stałe próżni ($\mu_0\varepsilon_0=1/c^2$)

Gauss (E): ładunki są źródłem $\vec E$. Gauss (B): brak monopoli. Faraday: zmienne $\vec B$ → wirowe $\vec E$. Ampère-Maxwell: prąd i zmienne $\vec E$ → $\vec B$. Animacja: zmienne pola napędzają się nawzajem.

Plus siła Lorentza $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$ oraz $\mu_0\varepsilon_0=1/c^2$.

∂B/∂t tworzy E ↔ ∂E/∂t tworzy B

pole Epole B

🌊

B12 · Fale EM, energia fali

Z Maxwella wypada równanie falowe z prędkością $c$. $\vec E\perp\vec B\perp\vec k$; energia w $\vec S=\vec E\times\vec H$.

Prędkość, energia, Poynting$c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}},\quad u=\varepsilon_0 E^2,\quad \vec S=\dfrac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B$

Co znaczą literki

$c$ — prędkość światła [m/s]
$\vec E$, $\vec B$ — pola fali; $\vec k$ — kierunek ruchu fali
$u$ — gęstość energii fali [J/m³]
$\vec S$ — wektor Poyntinga (strumień energii) [W/m²]
$\vec H$ — natężenie pola magn. [A/m]; $\mu_0,\varepsilon_0$ — stałe próżni

$\vec E$ (czerwone) i $\vec B$ (niebieskie) są prostopadłe do siebie i do kierunku ruchu, w fazie. Zmienne $\vec E$ tworzy $\vec B$, zmienne $\vec B$ tworzy $\vec E$ — fala sama się napędza, leci w próżni.

Pointa: $c$ wypadła z równań → światło to fala EM. Energia leci w kierunku $\vec S=\vec E\times\vec H$.

Częstotliwość 1.0

pole E pole B kierunek ruchu (E×B)